Даниил Бернулли

Семья, детство и университетская подготовка

Даниил Бернулли родился 29 января 1700 года в Гронингене. Его отец, Иоганн Бернулли, был математиком и профессором, представителем семьи, с которой связано развитие математического анализа в конце XVII и начале XVIII века. В 1705 году семья переехала в Базель. Там Даниил получил основную часть своего начального и университетского образования.

Математика была важной частью жизни семьи. Отец занимался исследовательской и преподавательской работой и знакомил сыновей с задачами новой науки о бесконечно малых. Но профессиональный путь Даниила складывался не как простое продолжение занятий отца. По семейным обстоятельствам он изучал медицину: она давала возможность получить университетскую должность и самостоятельную практику, а вместе с тем ставила задачи, для решения которых были нужны математика и физика.

Даниил учился в Базеле, затем продолжал медицинскую подготовку в Гейдельберге и Страсбурге. В 1720 году он представил работу, посвящённую дыханию, и получил медицинскую квалификацию. Таким образом, к началу собственной научной деятельности он уже имел две области интересов: строение и функционирование человеческого тела и математическое описание движения, равновесия и сил.

В 1723 году Бернулли отправился в Венецию, где продолжал заниматься медициной и самостоятельно исследовать математические задачи. На следующий год вышла его ранняя работа «Математические упражнения». Она показывала, что автор способен не только изучать достижения старших математиков, но и самостоятельно вести вычисления и участвовать в обсуждении важных проблем механики и анализа.

Ещё до петербургского периода Бернулли проявил интерес к устройствам для измерения времени на кораблях. Он представил решение на конкурс Парижской академии наук о морских песочных и водяных часах и получил премию. Обращение к такой теме характерно для него: математическая задача рассматривалась не сама по себе, а в связи с требованиями реальных приборов и движущихся систем.

Приезд в Петербург и работа в Академии наук

В 1725 году братья Даниил и Николай Бернулли приняли приглашение в Петербургскую академию наук. Они прибыли в Санкт-Петербург 27 октября. Николай был приглашён для занятий математикой, а Даниил занял кафедру физиологии. Такое распределение не было случайным: образование Даниила в области медицины позволяло ему исследовать функции организма, а владение математическим анализом — рассчитывать движение жидкостей и работу сложных систем.

Петербургская академия только начинала работу. Приглашённые профессора должны были одновременно проводить исследования, делать доклады, готовить научные публикации и участвовать в преподавании. Братья оказались в непривычной среде, где ещё не сложились устойчивые научные традиции, зато существовала возможность активно обсуждать новые задачи.

В 1726 году Николай Бернулли умер. Для Даниила это стало личной потерей. Тем не менее он продолжал работу в Петербурге и постепенно смещал центр занятий от медицинской физиологии к математике и механике. В первый год академической службы он представил больше десяти научных сообщений. Многие из них были посвящены движению тел, жидкости и вычислительным методам, то есть вопросам, прямо связанным с новыми задачами физики.

В Петербурге Бернулли познакомился с Леонардом Эйлером, прибывшим в Академию в 1727 году. Научное общение двух математиков оказалось плодотворным. Они обсуждали задачи механики и анализа, хотя подходы к отдельным проблемам не всегда совпадали. Эйлер развивал строгие математические методы описания непрерывных сред, а Бернулли часто отталкивался от физического опыта и пытался выразить наблюдаемый процесс с помощью соотношений между движением и силами.

Работа в Академии расширила круг тем Бернулли. Он исследовал истечение воды из сосудов, движение в трубках, влияние размеров отверстий и условия изменения давления. Эти задачи возникали и в технической практике — при устройстве фонтанов, водопроводов, каналов, насосов. Для изучения их было недостаточно знать отдельные эмпирические правила; требовалось установить общие зависимости, позволяющие рассчитывать различные случаи.

Петербургские опыты и формирование гидродинамики

Исследования жидкости стали центральным направлением петербургского периода Бернулли. Он стремился понять, как давление связано со скоростью течения и почему жидкость по-разному ведёт себя в широких и узких частях канала. При этом учёный соединял наблюдение с математическим рассуждением: проводил опыты и сопоставлял их с расчётами.

Для жидкостей, которые можно считать несжимаемыми, изменение поперечного сечения трубы приводит к изменению скорости течения. В узком участке при том же расходе вода движется быстрее. Вопрос заключался в том, что происходит при этом с давлением внутри потока. Бернулли показал, что в рассматриваемых условиях увеличение скорости сопровождается уменьшением статического давления, если остальные факторы остаются неизменными.

В простом виде это соотношение объясняют через сохранение механической энергии жидкости. Энергия движущегося потока включает составляющую, связанную со скоростью, и составляющую, связанную с давлением; при изменении высоты добавляется также влияние тяжести. Если вязкие потери пренебрежимо малы, сумма соответствующих величин вдоль линии тока сохраняется. Современная запись этого закона отличается от обозначений, употреблявшихся в XVIII веке, но отражает установленную Бернулли связь физических параметров.

Эксперименты учёного включали наблюдение за жидкостью, вытекающей из отверстий и движущейся по трубкам разных размеров и форм. Он исследовал также влияние насадок на истечение и особенности давления. Важно, что математическое объяснение опиралось не только на геометрическую форму сосуда, но и на представление о переходе одних форм механической энергии в другие.

К концу 1720-х годов Бернулли начал систематизировать полученные результаты в большом сочинении. Работа над будущей «Гидродинамикой» началась в Петербурге около 1729 года. Учёный не ограничился изложением чужих опытов: он предложил собственный способ расчёта движения жидкости, опираясь на баланс сил и движения. Часть результатов обсуждалась в Петербургской академии ещё до появления книги.

Этот этап важен и для истории научного языка. Слово «гидродинамика» стало названием области науки о движении жидкостей. Термин закрепился благодаря сочинению Бернулли, хотя сами вопросы истечения воды и действия водяных машин изучались и до него. Новым было соединение широкого круга отдельных практических задач в последовательную механическую теорию.

«Гидродинамика» 1738 года и закон Бернулли

Главное сочинение учёного — «Гидродинамика, или Комментарии о силах и движениях жидкостей» — вышло в Страсбурге в 1738 году. На титульном листе указан именно этот год. Книга была создана на основе многолетних исследований, значительная часть которых проводилась в Петербурге. Она посвящена не одному опыту, а целой системе вопросов о движении и действии жидкостей.

Бернулли рассматривал скорость истечения из сосудов, движение по трубкам, давление на стенки и причины изменения движения жидкости. Он пытался объяснить результаты на основе физических принципов, а не подбирать отдельную формулу для каждого опыта. Поэтому его работа стала важным шагом от практических правил гидравлики к математическому описанию течений.

Закон, носящий его имя, в современной учебной форме утверждает: при установившемся течении идеальной несжимаемой жидкости вдоль линии тока сумма давления, кинетической и потенциальной составляющих энергии единицы объёма остаётся постоянной. Если рассматривать горизонтальный участок, где высота не меняется, это означает, что при росте скорости статическое давление уменьшается.

У этого соотношения есть необходимые условия применения. Реальная жидкость имеет вязкость, при движении возникают потери энергии и может меняться характер течения. В общем случае закон не следует понимать как универсальное утверждение, будто во всякой быстро движущейся жидкости давление всегда ниже. Бернулли исследовал определённые идеализированные условия и способы сопоставить их с экспериментом; позднейшее развитие гидромеханики уточнило границы применимости его результатов.

На основе этих идей можно объяснять действие измерительных устройств, рассчитывать движение воды в трубопроводах и анализировать изменение параметров потока в каналах. Но практическая ценность работы Бернулли заключалась не только в готовой формуле: она дала язык и физический способ постановки новых задач о движении сплошных сред.

В «Гидродинамике» затронуты и вопросы устройства движущихся механизмов, работы жидкости и влияния внешних сил. Поэтому книгу читают не только как начало одной узкой темы, но и как свидетельство того, как физика XVIII века постепенно переходила от отдельных машин и опытов к общим принципам механики.

Как возникает давление газа: кинетическая идея

Другая часть «Гидродинамики» посвящена объяснению свойств газов. Бернулли предложил рассматривать газ как множество очень маленьких частиц, находящихся в непрерывном движении. Частицы ударяются о стенки сосуда, и суммарное действие огромного числа таких столкновений проявляется как давление.

Это была важная физическая идея: давление объяснялось не некоторой особой неподвижной силой, действующей внутри газа, а движением его составляющих. Изменение характера движения частиц должно было приводить к изменению наблюдаемого давления. Бернулли пытался связать давление с движением вещества на микроскопическом уровне, хотя точные сведения о молекулярном строении газов тогда отсутствовали.

Позднейшая кинетическая теория газов использовала более развитые математические методы, статистические представления и экспериментальные данные. Её нельзя считать завершённой уже у Бернулли. Тем не менее он высказал один из основных принципов будущей теории: макроскопическое давление возникает как результат микроскопического движения частиц и их взаимодействия со стенками.

Этот результат особенно характерен для направления его мысли. Наблюдаемое явление — давление газа — он объяснял механически, через движение и столкновения, так же как движение воды пытался объяснить изменениями скорости, давления и энергии. В обоих случаях учёный искал физический механизм за величинами, которые можно было измерить.

Медицина, кровообращение и математическое описание организма

Образование медика не осталось отдельным эпизодом жизни Бернулли. Уже в Петербурге он был приглашён на кафедру физиологии, а его интерес к движению жидкости имел непосредственное отношение к движению крови по сосудам. Для исследователей XVIII века было важно понять, как сердце создаёт движение, чем определяется сопротивление потоку и как физические свойства жидкости связаны с работой организма.

Бернулли рассматривал физиологические процессы средствами механики. В частности, кровообращение можно анализировать как движение жидкости по системе разветвлённых сосудов, хотя реальная кровь и сосудистые стенки гораздо сложнее идеализированных моделей. Такой подход позволял поставить вопросы о давлении и скорости в измеримой форме.

С медицинской подготовкой связаны и его исследования дыхания. Изучение процессов в организме требовало обращения к давлению, движению воздуха и крови и к механике тканей. Эти сюжеты объединяют ранние медицинские занятия Бернулли с его позднейшими работами по физике.

Современная физиология располагает намного более сложными представлениями о работе сердца и кровеносных сосудов. Поэтому не следует напрямую переносить частные расчёты Бернулли на все особенности живого организма. Однако сама идея использования точных методов механики для описания физиологических процессов была значительной частью его научной программы.

Возвращение в Базель и продолжение научных связей

В 1733 году Бернулли завершил службу в Петербургской академии и вернулся в Базель. Переезд не означал отказа от исследований, начатых в России. Напротив, работа над «Гидродинамикой» и другими темами продолжалась, а статьи и сообщения выходили как в европейских изданиях, так и в академических публикациях Санкт-Петербурга.

В Базельском университете он сначала занимал кафедру анатомии и ботаники, а в 1750 году получил кафедру физики. Такая последовательность хорошо показывает широту его образования. Бернулли не был математиком, полностью оторванным от опытной науки: преподавание физики позволяло ему возвращаться к вопросам измерений, опытов и механических закономерностей.

Петербургская академия сохранила связь с учёным после его отъезда. Его работы продолжали появляться в академических изданиях, а статус почётного члена закреплял длительное научное сотрудничество. В литературе год оформления этого статуса приводится неодинаково; по одному академическому исследованию это 1737 год, в некоторых реестрах членства встречается другая датировка. Важнее, что научное взаимодействие продолжалось десятилетиями.

Бернулли был избран в несколько европейских академий и научных обществ, неоднократно получал награды Парижской академии наук за решения конкурсных задач. Его интересы при этом менялись: наряду с гидродинамикой всё большую роль занимали вероятность, колебания и физические свойства сложных систем.

Вероятность, риск и петербургский парадокс

В 1738 году Бернулли опубликовал в трудах Петербургской академии работу, посвящённую новому способу измерения риска в ситуациях случайного выигрыша. Её часто связывают с так называемым петербургским парадоксом. Этот пример показывает, что математическое ожидание денежного выигрыша не всегда совпадает с тем, как человек разумно оценивает участие в игре.

В классической постановке монету бросают до первого появления определённой стороны. Чем дольше продолжается игра, тем больше денежный приз; при этом вероятность получить очень большой выигрыш быстро уменьшается. Если сложить произведения выигрышей на их вероятности, математическое ожидание оказывается бесконечным. Но реальные люди, как правило, не готовы платить бесконечно большую или даже огромную сумму за возможность играть.

Бернулли предложил различать денежную величину выигрыша и его полезность для человека. Один и тот же дополнительный доход может иметь разное значение для бедного и состоятельного участника. В его рассуждении каждая следующая денежная единица приносит меньший прирост полезности по мере увеличения богатства. Для выражения этой зависимости он использовал логарифмическую функцию.

Введённое им «моральное ожидание» позволяло оценивать не только размер возможных денежных сумм, но и значение результата для принимающего решение человека. Тем самым он предложил математический способ объяснить, почему люди могут избегать риска даже тогда, когда формальное денежное ожидание выглядит привлекательным.

Эта работа стала одной из исторических основ теории полезности и экономического анализа решений при неопределённости. Позднейшие исследователи существенно изменили язык и методы этой области, однако вопрос, поставленный Бернулли, сохранился: как принимать решения, если возможные выигрыши, их вероятности и ценность результата для человека не сводятся к одной величине.

Колебания струн, гармоники и задачи математической физики

В работах по теории колебаний Бернулли изучал движение натянутых струн и других упругих систем. Для звучащей струны важно не только общее движение, но и возможность существования различных форм колебаний. Струна может совершать основное колебание, соответствующее самому низкому тону, и одновременно участвовать в более быстрых колебаниях, которые воспринимаются как обертоны.

Бернулли предложил представлять сложное колебание как сочетание простых гармонических движений. Каждая гармоника соответствует определённой форме колеблющейся струны. Такое разложение позволяло переходить от сложной картины движения к набору более простых задач, каждая из которых имела собственную частоту.

Сегодня подобный подход знаком по разложениям в тригонометрические ряды и модальному анализу. Однако математические основания их применения были уточнены в более позднюю эпоху; не всякое утверждение, известное современной теории рядов Фурье, было уже строго доказано в XVIII веке. Заслуга Бернулли заключается в физически содержательной идее суперпозиции нормальных колебаний и в применении её к конкретным механическим системам.

Над близкими задачами работали также Эйлер и Даламбер. Различие их методов и дискуссии о том, какие движения следует считать допустимыми, способствовали развитию дифференциальных уравнений с частными производными. Вместе с исследованием струн Бернулли занимался движением цепей и других механических систем, где число взаимодействующих частей делало прямой расчёт особенно трудным.

Эта линия исследований имела значение далеко за пределами музыкальной акустики. Представление о сложном движении как о сочетании собственных колебаний позднее стало важным для механики сооружений, акустики, колебаний машин и многих разделов математической физики.

Поздние работы и последние годы

В последующие десятилетия Бернулли продолжал преподавать и исследовать различные задачи физики и математики. Его занятия включали теорию вероятностей, исследование колебаний и механических процессов, а также вопросы измерений и их ошибок. В математическом анализе он использовал подходы, позволявшие получать приближённые решения там, где прямое вычисление было неудобным.

По свидетельствам исторических исследований, Бернулли сохранял связь с Петербургом через публикации и переписку. В Базеле его избирали ректором университета. Он участвовал в научной жизни нескольких европейских академий, а конкурсные награды Парижской академии наук подтверждают, что интерес к прикладным задачам сохранялся у него многие годы.

К числу его поздних интересов относились и вопросы, которые сегодня рассматривают на пересечении математики, статистики и наук о жизни. Бернулли применял количественные методы к оценке неопределённых событий и к изучению природных явлений. Но не все приписываемые ему в популярных изложениях результаты имеют одинаково надёжную датировку, поэтому конкретные формулировки научного первенства требуют обращения к самим публикациям.

Бернулли умер 17 марта 1782 года в Базеле. Он прожил более восьмидесяти лет и успел поработать как врачебно образованный преподаватель, профессор Петербургской академии, исследователь механики и профессор физики Базельского университета. Значительная часть его научной жизни, включая важные достижения уже после возвращения в Швейцарию, продолжалась в тесной связи с учёными и изданиями Петербургской академии.

Что осталось в науке

Имя Бернулли прежде всего сохранилось в законе, связывающем давление, скорость и высоту движущейся жидкости. Этот закон изучается в курсах физики и гидромеханики. Он позволяет описывать идеализированные течения и служит отправной точкой для более сложных инженерных расчётов.

Не менее значима его идея о давлении газа как следствии движения множества частиц. В XVIII веке это было объяснение, опережавшее разработку строгих статистических моделей газа. В дальнейшем кинетическая теория получила собственные доказательства, формулы и опытные основания, но исторические работы Бернулли входят в число её ранних источников.

В теории вероятностей его представление о различии между денежным выигрышем и полезностью изменило способ обсуждения задач выбора. Вместо вопроса «какой выигрыш в среднем больше?» стало возможно математически ставить вопрос «какое решение имеет большее значение для данного участника?». Такое различение важно для экономических исследований, анализа рисков и теории принятия решений.

В механике колебаний его исследования струн и сочетаний гармоник открыли путь к использованию собственных форм движения при рассмотрении сложных систем. Наряду с Эйлером и Даламбером он участвовал в формировании методов, из которых впоследствии выросли многие разделы математической физики.

Петербургские годы стали одним из центральных периодов его работы: именно здесь проводились важные опыты, готовилась «Гидродинамика», обсуждались новые задачи механики и укрепилась связь учёного с академической научной печатью. Его труды показывают, как в первой половине XVIII века математические расчёты, экспериментальная физика и вопросы человеческой жизни постепенно объединялись в общую исследовательскую программу.