Леонард Эйлер

Базель: семья и образование

Леонард Эйлер родился 4 (15) апреля 1707 года в Базеле. Его отец Пауль Эйлер был пастором и получил математическую подготовку; семья поддерживала связи с представителями семьи Бернулли. Леонард рано заинтересовался математикой и учился в Базельском университете. Существенную роль в его научном становлении сыграли занятия под руководством Иоганна Бернулли, работавшего над математическим анализом и задачами механики.

Образование Эйлера не ограничивалось вычислениями. Он изучал гуманитарные и естественно-научные дисциплины и первоначально рассматривал разные возможные пути службы. Однако именно математические задачи определили его дальнейшую работу. Он вошёл в круг молодых исследователей, которым открытие Петербургской академии наук дало возможность заниматься наукой профессионально. Приглашение в Петербург стало поворотным событием его жизни.

Первый петербургский период: 1727–1741

В 1727 году Эйлер приехал в Санкт-Петербург. Академия наук, созданная в царствование Петра I, собирала специалистов по математике, физике, астрономии и естественной истории. В Петербурге уже работали Даниил Бернулли, Христиан Гольдбах и другие учёные, с которыми Эйлер обсуждал научные вопросы. В 1730-е годы он получил профессорскую должность, а в 1733 году занял кафедру высшей математики.

Первое крупное направление его исследований было связано с механикой. В двухтомном сочинении «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736) он систематически применил методы дифференциального и интегрального исчисления к движению материальной точки. Такой подход позволял не разбирать каждую задачу отдельно геометрическими построениями, а выражать законы движения в уравнениях, пригодных для множества случаев. Это помогло превращению механики в последовательную математическую дисциплину.

Эйлер решал и задачи, на первый взгляд далёкие от движения тел. В 1730-е годы он исследовал вопрос о семи мостах Кёнигсберга: можно ли пройти по каждому мосту ровно один раз при определённых условиях. Сведя задачу к схеме соединений между частями города, он показал, какие свойства этой схемы решают вопрос о существовании нужного маршрута. Работа 1736 года стала важным ранним результатом той области, которую позднее назвали теорией графов.

К этому же времени относится его знаменитое решение задачи о сумме обратных квадратов натуральных чисел. Результат связан с числом π и показывает, как анализ бесконечных рядов способен приводить к точным числовым тождествам. Эйлер развивал способы обращения с рядами и произведениями, постоянно проверяя, насколько далеко можно распространить приёмы алгебраических преобразований.

Работа учёного в России была также практической. Он участвовал в деятельности Географического департамента академии, занимался вопросами картографии и метрологии, консультировал составителей карт и специалистов по измерениям. Эти занятия связывали математические методы с государственной потребностью в точном описании территории, навигации и систематизации измерительных данных.

Теория чисел: простые числа и арифметические закономерности

Математика XVIII века получила от Эйлера множество методов исследования натуральных и простых чисел. Он развил идеи Ферма, изучал делимость, сравнения по модулю и степенные остатки. Среди его результатов — теорема Эйлера, обобщающая малую теорему Ферма: если целое число взаимно просто с модулем, определённая степень этого числа даёт остаток 1. Для формулировки результата используется функция Эйлера, подсчитывающая количество положительных чисел, взаимно простых с заданным числом.

В 1737 году он установил связь между бесконечным рядом из обратных степеней натуральных чисел и произведением по всем простым числам. Теперь это соотношение называют произведением Эйлера. Оно показывает, что закономерности делимости натуральных чисел можно исследовать средствами анализа, и стало одним из исходных пунктов аналитической теории чисел.

Эйлер изучал числа, представимые суммами квадратов, делители, разложения чисел, а также отдельные трудные задачи, предложенные Ферма. В частности, он обнаружил, что один из предполагаемых Ферма простых членов соответствующей последовательности в действительности составной. Он переписывался с Гольдбахом, обсуждая свойства простых чисел и связанные с ними гипотезы. Часть поставленных в переписке вопросов оставалась нерешённой значительно дольше их жизни.

Он исследовал разбиения чисел на слагаемые и доказал ряд тождеств для бесконечных произведений и рядов, включая знаменитую теорему о пятиугольных числах. Эти результаты связывали комбинаторный счёт, арифметику и математический анализ.

Берлин: 1741–1766. Формирование математического анализа

В 1741 году Эйлер переехал в Берлин и работал в Прусской академии наук. При этом он продолжал научную переписку с Петербургом и публикацию трудов, связанных с Российской академией. Берлинский период был особенно насыщен трудами по анализу, геометрии, оптике, механике и астрономии.

В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) он представил исследование функций как самостоятельный предмет математики. Рассматривались степенные ряды, логарифмы, показательные и тригонометрические функции, аналитические преобразования и задачи геометрии. Именно этот курс оказал большое влияние на последующее изложение математического анализа. В трудах Эйлера закрепился ряд обозначений, используемых до сих пор, хотя их историческое происхождение иногда связано с работами нескольких математиков.

Между показательной функцией и тригонометрией Эйлер выявил важную связь при помощи комплексных чисел. Формула, обычно записываемая как e^(ix) = cos x + i sin x, позволяет описывать колебательные и вращательные процессы средствами единой алгебры. Она лежит в основе многих дальнейших методов математики и физики.

В «Дифференциальном исчислении» (1755) он систематизировал технику нахождения производных и свойства функций. Позднее в многотомном «Интегральном исчислении» собрал и разработал методы вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений. Для механики и физики это было особенно важно: законы движения нередко выражаются через скорости изменения величин, поэтому их исследование требует методов работы с дифференциальными уравнениями.

Эйлер выделил теорию обыкновенных дифференциальных уравнений как самостоятельную область исследований и внес вклад в теорию уравнений с частными производными. Он рассматривал линейные и нелинейные уравнения, специальные способы преобразований и решения задач, возникавших в математической физике.

Вариационное исчисление, геометрия и топология

В 1744 году Эйлер опубликовал сочинение о нахождении кривых, для которых некоторая величина принимает наименьшее или наибольшее значение. Постановка таких задач отличается от обычного поиска экстремума функции: требуется выбрать оптимальную линию или закон движения среди множества возможных. Это стало одним из оснований вариационного исчисления. Позднее связанные с ним необходимые условия записывали в виде уравнения Эйлера — Лагранжа; дальнейшее развитие метода связано также с Жозефом Луи Лагранжем.

В геометрии Эйлер исследовал кривизну поверхностей, геодезические линии и геометрию поверхностей второго порядка. Он показал, как математический анализ может отвечать на вопросы, прежде изучавшиеся преимущественно геометрическими построениями. Особенно важными стали его результаты о главных направлениях кривизны поверхности.

Он установил соотношение между числом вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника. В обычной записи оно имеет вид V − E + F = 2. Этот результат, связанный с работами конца 1750-х годов, стал основой дальнейшего исследования топологических характеристик фигур. Его принципиальная особенность в том, что он зависит не от длин рёбер или величин углов, а от способа соединения элементов поверхности.

Механика, жидкости и астрономия

Механические труды Эйлера охватывали движение точек, упругих тел, вращающихся твёрдых тел и жидкостей. В «Теории движения твёрдых тел» (1765) он создал последовательный математический аппарат для исследования вращения. С его именем связывают уравнения движения твёрдого тела и углы, которые используются для описания ориентации объекта в пространстве. Эти идеи позднее нашли применение в инженерной механике, астрономии, навигации и других областях.

В гидродинамике Эйлер описал движение идеальной жидкости при помощи дифференциальных уравнений. Такой подход показывает, как скорость и давление изменяются от точки к точке и во времени. Он стал основой последующей математической гидродинамики и позволяет исследовать движение потоков, не отслеживая отдельно каждую частицу жидкости.

В работах по колебаниям и упругости Эйлер рассматривал форму и устойчивость тонких стержней, механические системы и задачи о деформациях. В теории устойчивости стержней он получил зависимости, используемые при оценке потери устойчивости сжатых элементов конструкций. Он занимался и теорией машин, и расчётами, связанными с корабельным делом.

Большой цикл исследований Эйлера относился к небесной механике. Он рассчитывал движение Луны и планет, изучал возмущения их орбит, обусловленные взаимодействием нескольких небесных тел. Его методы способствовали развитию расчётов астрономических таблиц и уточнению математической постановки задач механики небесных тел. В оптике он исследовал прохождение света через оптические системы, геометрические свойства линз и вопросы изображения.

Второй петербургский период: 1766–1783

В 1766 году Эйлер вернулся в Санкт-Петербург и вновь стал профессором Петербургской академии наук. К этому времени зрение учёного серьёзно ухудшилось; позднее он почти полностью ослеп. Он продолжал работать с помощью сотрудников, членов семьи и учеников, диктуя исследования и организуя вычисления.

В эти годы он готовил и публиковал крупные курсы. Двухтомная «Универсальная арифметика» (1768–1769) объясняла широкий круг арифметических и алгебраических вопросов и использовалась как учебное пособие. Многотомное «Интегральное исчисление» выходило в 1768–1770 годах, завершающий том был опубликован после смерти автора. Эйлер продолжал работу над задачами механики, математики и астрономии, поддерживал научную переписку и обучал молодых математиков.

Среди исследователей, связанных с его школой и непосредственной работой, были Николай Фусс, Степан Румовский, Андрей Лексель, Степан Котельников и сын учёного Иоганн Альбрехт Эйлер. Их деятельность показывала, как научные методы передавались от одного поколения академиков к следующему.

Эйлер умер 7 (18) сентября 1783 года в Санкт-Петербурге. Значительная часть его работ была опубликована уже после смерти, и исследование рукописного наследия продолжалось в последующие столетия.

Наследие и использование результатов

Эйлер оставил сотни печатных трудов по математике и её приложениям. Его исследования не сводятся к отдельным формулам: он помог создать язык, с помощью которого можно систематически описывать движение, изменяющиеся величины, геометрические объекты и свойства чисел.

Названия «функция Эйлера», «формулы Эйлера», «уравнения Эйлера», «углы Эйлера», «характеристика Эйлера» закрепились в разных разделах науки. При этом речь идёт о различных результатах, возникших из разных задач, а не об одном открытии. Некоторые названия относятся к позднейшим обобщениям его работ.

Полное собрание сочинений Эйлера издаётся в многотомной серии Opera omnia. В России его исследования изучают историки математики, а архивные и библиотечные собрания хранят прижизненные публикации и связанные с ним документы. В 1957 году Академия наук СССР учредила золотую медаль имени Л. Эйлера. Прах учёного был перенесён в некрополь Александро-Невской лавры.